○方田(以御田畴界域) 今有田广十五步,从十六步。问为田几何?答曰:一亩。又有田广十二步,从十四步。问为田几何?答曰:一百六十八步。方田 术曰:广从步数相乘得积步。〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。淳风等按:经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。观斯注意,积幂义同。以理推之,固当不尔。何则?幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。循名责实,二者全殊。虽欲同之,窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方;其言积者举众步之都数。经云相乘得积步,即是都数之明文。注云谓之为幂,全乖积步之本意。此注前云积为田幂,于理得通。复云谓之为幂,繁而不当。今者注释,存善去非,略为料简,遗诸后学。〕以亩法二百四十步除之,即亩数。百亩为一顷。〔淳风等按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者,从此可知。一亩之田,广十五步,从而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。又横而截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步,各自为方,凡有二百四十步。一亩之地,步数正同。以此言之,则广从相乘得积步,验矣。二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。故以除之,即得。〕今有田广一里,从一里。问为田几何?答曰:三顷七十五亩。又有田广二里,从三里。问为田几何?答曰:二十二顷五十亩。里田 术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。〔按:此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即得亩数也。〕今有十八分之十二,问约之得几何?答曰:三分之二。又有九十一分之四十九,问约之得几何?答曰:十三分之七。 ○约分 〔按:约分者,物之数量,不可悉全,必以分言之;分之为数,繁则难用。设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四;约而言之,则二分之一也,虽则异辞,至于为数,亦同归尔。法实相推,动有参差,故为术者先治诸分。〕术曰:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。〔等数约之,即除也。其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。〕 今有三分之一,五分之二,问合之得几何?答曰:十五分之十一。又有三分之二,七分之四,九分之五,问合之得几何?答曰:得一、六十三分之五十。又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四,问合之得几何?答曰:得二、六十分之四十三。 ○合分 〔淳风等按:合分知,数非一端,分无定准,诸分子杂互,群母参差。粗细既殊,理难从一,故齐其众分,同其群母,令可相并,故曰合分。〕术曰:母互乘子,并以为实。母相乘为法。 〔母互乘子。约而言之者,其分粗;繁而言之者,其分细。虽则粗细有殊,然其实一也。众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同,共一母也;齐者,子与母齐,势不可失本数也。方以类聚,物以群分。数同类者无远;数异类者无近。远而通体知,虽异位而相从也;近而殊形知,虽同列而相违也。然则齐同之术要矣:错综度数,动之斯谐,其犹佩觿解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同以通之,此其算之纲纪乎?其一术者,可令母除为率,率乘子为齐。〕实如法而一。不满法者,以法命之。〔今欲求其实,故齐其子,又同其母,令如母而一。其余以等数约之,即得知,所谓同法为母,实余为子,皆从此例。〕其母同者,直相从之。今有九分之八,减其五分之一,问余几何?答曰:四十五分之三十一。又有四分之三,减其三分之一,问余几何?答曰:十二分之五。
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